Составим математическую модель задачи. Обозначим через xij искомый объем перевозки от поставщика I к потребителю j и будем рассматривать переменные xij, задающие план перевозок, как компоненты матрицы перевозок X размеров :

. (13)

Затраты, связанные с некоторой перевозкой xij, составляют величину cijxij, а общая стоимость перевозок z от всех поставщиков ко всем потребителям определится равенством:

. (14)

В соответствии с постановкой задачи план перевозок должен быть составлен так, чтобы вывоз от каждого поставщика равнялся его объему производства:

(15)

а общие поставки любому потребителю удовлетворяли его спрос:

(16)

Из физического смысла переменных следуют условия их неотрицательности

(17)

В итоге получаем формулировку транспортной задачи: найти значения переменных xij, удовлетворяющие условиям (15) – (17) и минимизирующие целевую функцию (14). Это каноническая задача линейного программирования. В ней число переменных равно mn, число ограничений-равенств – m+n.

Левые части уравнений (15) образованы строчными , а уравнений (16) – столбцовыми элементами матрицы перевозок (13). В соответствии с условиями (15) и (16) сумма элементов i-й строки матрицы Х должна быть равна ai, а сумма элементов j-го столбца – bj. В дальнейшем будем называть уравнения (15) строчными, (16) – столбцовыми.

Для проверки условий совместности системы (15), (16) проведем суммирование уравнений (15) по индексу I, а (16) – по j. Получаем равенства

; ,

левые части которых отличаются только порядком суммирования. Следовательно, они равны между собой. Тогда будут равны и правые части

(18)

Условие (18) является условием совместимости системы ограничений (15) – (16). Оно выражает требования баланса между суммарными запасами и суммарными потребностями.

Транспортную задачу, для которой выполняется условие баланса (18), называют закрытой задачей. Если же условие нарушено, то задача называется открытой. Здесь возможны два случая:

а) суммарные запасы превышают суммарный спрос;

б) суммарный спрос больше суммарных запасов.

В первом случае после удовлетворения спроса всех потребителей у некоторых поставщиков останется невывезенный продукт, во втором случае поставки для некоторых потребителей будут меньше их потребности.

При построении модели в первом случае для совместности условий строчные ограничения должны быть записаны как ограничения-неравенства, допускающие неполный вывоз имеющегося продукта. Модель примет вид

; (19)

;

;

Аналогично во втором случае неравенствами должны быть выражены столбцовые ограничения, допускающие неполное удовлетворение спроса.

Открытая модель легко сводится к эквивалентной ей закрытой модели. Так, в первом случае введем фиктивный потребитель с величиной спроса

Другое по теме:

Расчет загрузки судна "Замоскворечье"
Таблица 1 Показатель Единица измерения Величина Год, место постройки — 1995, Россия Тип — “Капитан Лусь” Класс Регистра — КМµЛ1 А1 ...

Бухгалтерский учет ГСМ и списание на затраты
Еще несколько лет тому назад торговля горюче-смазочными материалами (ГСМ) была распространена в сфере довольно узкого круга предприятий и организаций. Однако в настоящее время в силу своей практически 100-процентной ликвидности и высокой рентабельности данный вид предпринимательской деят ...

Гальванический участок на АРЗ
Автомобильный транспорт занимает ведущее место в удовлетворении постоянно растущей потребности сельского хозяйства, перевозки грузов и пассажиров. Перед автотранспортом поставлены задачи повышения экономической эффективности работы и снижения трудоемкости его технического ремонта. Реше ...